経路空間上の拡散過程の推移半群の微分評価と Littlewood-Paley-Stein 不等式^{∗}

河備浩司^{†} （東京大学大学院数理科学研究科)

確率偏微分方程式 (time dependent Ginzburg-Landau type SPDE と呼ばれている)

(GL) dX_{t}(x) = \{Δ_{x}X_{t}(x) − ∇U(X_{t}(x))\}dt + \sqrt{2}dW_{t}(x), x ∈ ℝ, t > 0.

を考える。ここで W := (W_{t})_{t≥0} は H := L^{2}(ℝ, ℝ^{d})-cylindrical Brownian motion である。本講演ではこの方程式の解で記述される経路空間 C(ℝ; ℝ^{d}) 上の拡散過程の推移半群の微分評価が、既存の Bakry-Emery の Γ_{2}-method とは異なり、 SPDE (GL) の stochastic flow の評価のみから得られることを述べる。この評価の応用として推移半群の放物型 Harnack 不等式、推移確率の下からの評価と Varadhan 型短時間漸近挙動などが得られる事は [1] で述べたことであるが、本講演では別の応用として Littlewood-Paley-Stein 不等式が得られることも述べる。これは御代川知宏氏（京大理）との共同研究 [2] に基づく。

ちなみに問題の拡散過程は、 potential 関数 U : ℝ^{d} → ℝ の適当な条件の下で、 C(ℝ; ℝ^{d}) 上の U-Gibbs 測度 μ を可逆測度として持つことが知られている。ここで μ が U-Gibbs 測度であるとは、正則条件付確率が任意の r ∈ ℕ に対して以下の Dobrushin-Lanford-Ruelle 方程式

μ(dX|B_{r}^{∗})(ξ) = μ_{r,ξ}(dX) for μ-a.e. ξ ∈ C(ℝ; ℝ^{d})

を満たすことを言う。ここで B_{r}^{∗} は C(ℝ, ℝ^{d})|_{[−r,r]^{c}} により生成される σ-field であり, 有限体積経路空間 C([−r, r]; ℝ^{d}) 上の確率測度である μ_{r,ξ} は

μ_{r,ξ}(dX) := Z_{r,ξ}^{−1} exp ( − ∫_{−r}^{r} U(X(x))dx)W_{r,ξ}(dX)

と定義されたものである。ただし W_{r,ξ} は境界条件 W_{r,w}(X(r) = ξ(r), X(−r) = ξ(−r)) = 1 の Brownian bridge の測度で、 Z_{r,ξ} は正規化定数である。

本講演では potential 関数 U に対して以下の条件を課す。

(U1) U ∈ C^{2}(ℝ^{d}, ℝ) and it satisfies that there exists K_{1} ∈ ℝ such that ∇^{2}U(z) ≥ −K_{1} holds for any z ∈ ℝ^{d}.

(U2) There exist K_{2} > 0 and p > 0 such that |∇U(z)| ≤ K_{2}(1 + |z|^{p}) holds for any z ∈ ℝ^{d}.

(U3) lim_{|z|→∞}U(z) = ∞.

(U1) と (U2) は SPDE （GL) の解が存在し、 pathwise-uniqueness が成り立つための条件、 (U3) は Gibbs 測度が存在するための条件である。（Iwata, Funaki などによりよく知られている。） U の例としては non-convex な double-well potential U(z) = |z|^{4} − |z|^{2} を含めることができる。

次に Dirichlet form との対応関係について述べる。まず cylinder 関数全体を

FC_{b}^{∞} := {f(w) = f̃(⟨w, ϕ_{1}⟩, ⋯, ⟨w, ϕ_{n}⟩) | n ∈ ℕ, {ϕ_{k}}_{k=1}^{∞} ⊂ C_{0}^{∞}(ℝ),
f = f̃(α_{1}, ⋯, α_{n}) ∈ C_{b}^{∞}(ℝ^{n}), ⟨w, ϕ_{k}⟩ := ∫_{ℝ}(w(x), ϕ_{k}(x))_{ℝ^{d}}dx }

∗研究集会「確率解析とその周辺」（於・京都大学）での予稿．

†Research supported by JSPS Research Fellowships for Young Scientists. e-mail:kawabi@ms.u-tokyo.ac.jp

と定義する。対称な双線型形式 E を

E(f) = ∫ |Df(w)|_{H}^{2}μ(dw), f ∈ FC_{b}^{∞}  (1)

で定義する。なお Df は f の H-Fréchet 微分である。 E_{1}(f) := E(f) + ∥f∥_{L^{2}(dμ)}^{2} と置き、 D(E)

を FC_{b}^{∞} の E_{1}^{1/2}-norm による完備化と定義する。すると (E, D(E)) は L^{2}(dμ) 上の Dirichlet form となる。これに対応する Markov 半群を {P_{t}}_{t≥0} とすると、これと (GL) に対応する推移半群が L^{2}(dμ) 上の強連続縮小半群として一致することが知られている。これに関して以下の微分評価が得られた。

Theorem 1 (Gradient Estimate for {P_{t}}) For f ∈ D(E), the following gradient estimate holds for any t ∈ [0, ∞) and μ-a.e. w ∈ E.

|D(P_{t}f)(w)|_{H} ≤ e^{K_{1}t}P_{t}(|Df|_{H})(w).  (2)

この定理の応用として Littlewood-Paley-Stein 不等式が得られる。ただし P_{t}^{(α)} := e^{−αt}P_{t} の sub-ordination Q_{t}^{(α)} に対して Littlewood-Paley の G-関数は以下のように定義されたものである。

g\overrightarrow{f}(w, t) := |\frac{∂}{∂t}(Q_{t}^{(α)}f)(w)|,  G\overrightarrow{f}(w) := ( ∫_{0}^{∞} tg\overrightarrow{f}(w, t)^{2}dt)^{1/2},
g_{f}^{↑}(w, t) := |D(Q_{t}^{(α)}f)(w)|_{H},  G_{f}^{↑}(w) := ( ∫_{0}^{∞} tg_{f}^{↑}(w, t)^{2}dt)^{1/2},
g_{f}(w, t) := \sqrt{(g\overrightarrow{f}(w, t))^{2} + (g_{f}^{↑}(w, t))^{2}}, G_{f}(w) := ( ∫_{0}^{∞} tg_{f}(w, t)^{2}dt)^{1/2}.

Theorem 2 (The Littlewood-Paley-Stein Inequality) For any 1 < p < ∞ and α > K_{1}, the following inequalities holds for f ∈ FC_{b}^{∞}:

∥G_{f}∥_{L^{p}(dμ)} ≲ ∥f∥_{L^{p}(dμ)},  (3)
∥f∥_{L^{p}(dμ)} ≲ ∥G\overrightarrow{f}∥_{L^{p}(dμ)}.  (4)

Here ∥u∥_{L^{p}(dμ)} ≲ ∥v∥_{L^{p}(dμ)} stands for ∥u∥_{L^{p}(dμ)} ≤ C_{p}∥v∥_{L^{p}(dμ)}, where C_{p} is a positive constant depending only on p.

この不等式の応用として以下のノルムの包含関係が得られる。ここで L_{(p)} は L^{p}(dμ) における {P_{t}} の generator である。なお現時点では Meyer equivalence まで成り立つかは全く分からない。

Theorem 3 For any p ≥ 2, q > 1 and α > K_{1}, the following inequality holds for f ∈ L^{p}(dμ):

∥D(\sqrt{α − L_{(p)}})^{−q}f∥_{L^{p}(dμ;H)} ≲ ∥f∥_{L^{p}(dμ)}.  (5)

This means the following inclusion holds:

Dom((\sqrt{1 − L_{(p)}})^{q}) ⊂ W^{1,p}(dμ) := \{f ∈ L^{p}(dμ) | Df ∈ L^{p}(dμ; H)\}.  (6)

References

[1] H. Kawabi: The parabolic Harnack inequality for the time dependent Ginzburg-Landau type SPDE and its application, Preprint series UTMS 2002-27. To appear in Potential Analysis.

[2] H. Kawabi and T. Miyokawa: Notes on the Littlewood-Paley-Stein inequality for certain infinite dimensional diffusion processes, preprint, 2003.