無限直積測度の準不変性について

貞末 岳 (大阪教育大学)

以下では、次のような記号を用いてゆく。

G = Lie 群, 𝔤 = G の Lie 環

dm = G の Haar 測度, dμ = G 上の確率測度, μ^{∞} = μ の無限直積 I_{μ} = {g ∈ G; μ ∘ L_{g}^{−1} = μ}, Y_{μ} = {g ∈ G^{∞}; μ^{∞} ∘ L_{g}^{−1} ∼ μ^{∞}}

Lie 群上での無限直積測度の準不変性に対しては、 Shepp [4] が G = ℝ の場合に次のことを示している。

Fact. (Shepp)

G = ℝ のときには、

Y_{μ} ⊂ l^{2}

となっており、さらに Y_{μ} = l^{2} となるのは

μ ∼ m, ∫ \frac{f′(x)^{2}}{f(x)} dm(x) < ∞ (f = \frac{dμ}{dm})

となるときに限る。

洞 [1] は、これが、 G = 可換 Lie 群のときにも成り立つことを証明し、さらに [2] で G = SU(2) の場合にも成り立つことを証明した。

本講演では、この定理が一般のコンパクト Lie 群について成り立つことを述べてゆく。正確に述べるために、いくつか記号を準備する。

Lie 群 G のコンパクト部分群 K があるとき、 d を、 𝔤 上の Ad_{K} 不変な内積から決まる左不変距離とする。このとき、 d̄(g) = inf_{k∈K} d(k, g) とし、

l^{2}(G; K) = {g = (g_{i}) ∈ G^{∞}; ∑_{i=1}^{∞} d̄(g_{i})^{2} < ∞}

とすると、これは G^{∞} の部分群となっている。また、 G の勾配作用素 ∇ の L^{2}-domain を D(∇) とかく。

さて、主定理を述べる。

定理 1 G がコンパクト Lie 群のときには、

Y_{μ} ⊂ l^{2}(G; I_{μ})

であり、さらに Y_{μ} = l^{2}(G; I_{μ}) となるのは

μ ∼ m, \sqrt{f} ∈ D(∇) (f = \frac{dμ}{dm})

となるときに限る。定理の証明について少し触れておく。 Shepp [4]、洞 [1], [2] が、フーリエ変換や既約表現による固有関数展開に基づくものであるのに対し、ここでの証明は、勾配作用素 ∇ を関数解析的に取り扱うことによる。

また、非コンパクト型のときでも、つぎの部分的な結果が得られる。

定理 2 G がユニモデュラー Lie 群のときには、 Y_{μ} ⊃ l^{2}(G; I_{μ}) となるのは

μ ∼ m, \sqrt{f} ∈ D(∇) (f = \frac{dμ}{dm})

となるときに限る。また、このときには Y_{μ} = l^{2}(G; I_{μ}) となっている。

定理 2 の証明は、洞 [2] に沿うが、その際次の補題を用いる。

補題可測空間 (X, F) に Lie 群 G が作用しており、さらに (X, F) 上の確率測度 μ が

lim_{g→e in G^{n}} ∥μ^{n} ∘ L_{g}^{−1} − μ^{n}∥_{tot} = 0

(μ^{n} は μ の n 個の直積) と

lim_{t→0} ∥μ^{∞} ∘ L_{e^{tA}}^{−1} − μ^{∞}∥_{tot} = 0 (∀A ∈ l^{2}(𝔤))

をみたしていれば、

lim_{g→e in l^{2}(G;I_{μ})} ∥μ^{∞} ∘ L_{g}^{−1} − μ^{∞}∥_{tot} = 0

となる。

この補題と、水町・佐藤 [3] での、局所コンパクト群の作用下での測度の連続性をもとに、定理 2 の証明が得られる。

References

[1] A. Hora, Quasi-invariant measures on commutative Lie groups of infinite product type, Math.Z. 206 (1991), 169-192.

[2] A. Hora, Quasi-invariant measures on the infinite product of SU(2), J.Theoret.Prob. 5 (1992), 71-100.

[3] H. Mizumachi and H. Sato, Continuity of quasi-invariant measures and zero-one laws on groups, J.Funct.Anal. 120 (1994), 188-200.

[4] L. A. Shepp, Distinguishing a sequence of random variables from a translate of itself, Ann.Math.Stat. 36 (1965), 1107-1112.