エントロピーの一般化と分数羃対数 Sobolev 不等式^{∗}

劉慶平^{†} ・重川一郎^{‡} (京都大学理学研究科)

Latała-Oleszkiewicz [1] や F.-Y. Wnag [3] が Poincaré の不等式と対数 Sobolev の不等式の中間的な概念について論じている．ここでは， Orlicz 空間の枠組みでそれらを整理し，また L^{p} への一般化について述べる．

\underline{エントロピーの一般化}

(M, μ) を測度空間で， μ は確率測度であるとする．このとき (M, μ) 上に以下のように Orlicz 空間が定義できる． ϕ を [0, ∞) 上の関数で，非負，右連続，単調非減少であるとする．さらにその積分を Φ とおく:

Φ(x) = ∫_{0}^{x} ϕ(t)dt, x ≥ 0.  (1)

このような表示を持つ関数 Φ を Young funiction と呼ぶさらに， ϕ(0) = 0, ϕ(t) > 0 (t > 0), ϕ(∞) = ∞ をみたすときは， Φ を nice Young function あるいは N-function とよぶ． N-function に対して， ψ(u) = inf{t; ϕ(t) > u} と定め Ψ(y) = ∫_{0}^{y} ψ(u)du と置くとき， Ψ を Φ の complementary function と呼ぶ．これから， N_{Φ} を

N_{Φ}(f) = inf{λ > 0; E[Φ(|f|/λ)] ≤ 1}  (2)

と定め， N_{Φ}(f) < ∞ となる可測関数全体を L^{Φ} とかき， Orlicz 空間と呼ぶ． N_{Φ} は gauge norm と呼ばれることがある．

以上は既によく知られたことであるが，ここでは ϕ の正値性の条件を外して，一般化を行う．ほぼ平行した議論で同様のことが成り立つことが確かめられる．ただし， Φ を定義するために， ϕ は有限区間で，可積分であることを仮定し，さらに， C^{1} であることまで仮定しておく． N_{Φ} は， N-function に対してはノルムの性質を満たすが，一般化すると，ノルムの性質のうち，三角不等式が成立しなくなる．ただし，ある定数 m が存在して，

N_{Φ}(f + g) ≤ (1 + m)(N_{Φ}(f) + N_{Φ}(g))

が成立するので， L^{Φ} はベクトル空間で位相が定義できる． Φ が N-function の場合は，ノルムとして，

∥f∥_{Φ} = sup{E[|f|g]; E[Ψ(g)] ≤ 1}  (3)

が定義され， N_{Φ} と同値であることが知られている． ϕ の正値性を外しても，定義は同様に出来る． ∥ ∥_{Φ} を Orlicz functional と呼ぶことにする．典型的な例として ϕ(x) = log x を考えることができこのとき， ∥f∥_{Φ} = Ent(|f|) := E[|f| log(|f|/∥f∥_{1})] が成り立つ．従って ∥ ∥_{Φ} をエントロピーの一般化と見なすことが出来る． \underline{ϕ-Sobolev 不等式}

∗2003 年 9 月 29 日〜10 月 1 日「確率解析とその周辺」於：京都大学理学研究科

†E-mail: liu@math.kyoto-u.ac.jp

‡E-mail: ichiro@math.kyoto-u.ac.jp URL: http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro

次の形の不等式を ϕ-Sobolev 不等式と呼ぶ．

∥f^{2}∥_{Φ} ≤ 2λE(f, f) + Ψ^{−1}(1)∥f∥_{2}^{2}.  (4)

ここに E は確率空間 (M, μ) 上の Dirichlet 形式で， 1 ∈ Dom(E) で E(1, 1) = 0 を仮定する．少し弱めた次の形の不等式は不完全 ϕ-Sobolev 不等式と呼ばれる．

∥f^{2}∥_{Φ} ≤ 2λE(f, f) + Ψ^{−1}(1)∥f∥_{2}^{2} + 2μ∥f∥_{2}^{2}.  (5)

ϕ(t) = log t のときは対数 Sobolev 不等式である．また次の形の不等式は Poincaré の不等式と呼ばれている．

∥f̂∥_{2}^{2} ≤ νE(f, f).  (6)

ここに， f̂ = f − E [f] である．

さらに sup_{x>0} xϕ′(x) = l < ∞ を仮定する．このとき次が成立する．

[figure]

定理 1. 次のことが成立する．

(1) ϕ-Sobolev 不等式 (4) が成立すれば， ν = λ/αϕ′(α) として Poincaré の不等式 (6) が成立する．

(2) 不完全 ϕ-Sobolev 不等式 (5) が成立し，さらに Poincaré の不等式 (6) が成立すれ

ば， ϕ-Sobolev 不等式 (4) が λ を λ + (μ + l)ν として成立する．

[figure]

\underline{分数羃対数 Sobolev 不等式}

ϕ = log^{γ}(1 + x) と取った場合に，不等式 (5) が成り立つとき γ 次の対数 Sobolev 不等式が成立するという．これらを総称して分数羃対数 Sobolev 不等式と呼ぶ．このとき，

[figure]

\begin{matrix}定理 2. p > 2, β ∈ R か，あるいは p = 2, β ≥ 0 を仮定する．このとき次が成立する． \\ ∥f∥_{L^{p} log^{p(β+γ)/2} L} ≲ ∥∇f∥_{L^{p} log^{pβ/2} L} + ∥f∥_{1} & (7) \end{matrix}

[figure]

参考文献

[1] R. Latała and K. Oleszkiewicz, Between Sobolev and Poincaré, in Geometric aspects of functional analysis, pp. 147–168, Lecture Notes in Math., Vol. 1745, Springer, Berlin, 2000.

[2] M. M. Rao and Z. D. Ren, “Theory of Orlicz spaces,” Marcel Dekker, New York, 1991.

[3] F.-Y. Wang, A generalized Beckner-type inequality, preprint.