科研費シンポジウム「確率解析とその周辺」予稿 (2003.9.29–10.1 於京都大)

Malliavin 解析における多次元 Brown 運動の局所時間 — どの一般 Wiener 関数のクラスに属するのか？

高信敏 (金沢大学自然科学研究科)

(原点から出発する) １次元 Brown 運動 B = (B_{t}) の局所時間 {L_{t}^{x}(B); t ≥ 0, x ∈ ℝ} は， occupation time ∫_{0}^{t} 1·(B_{s})ds (· ∈ B(ℝ)) の density, i.e.,

∫_{0}^{t} f(B_{s})ds = ∫_{−∞}^{∞} L_{t}^{x}(B)f(x)dx, ^{∀}f: 非負の Borel 可測

であるから， L_{t}^{x}(B) を ∫_{0}^{t} δ_{x}(B_{s})ds と表わすことが許される．しかし， B = (B_{t}) が r 次元 Brown 運動 (r ≥ 2) となると，もはやこれは許されないだろう．ではどうしたらよいか？一つの手立てとして，超関数の意味で

p^{(r)}(ε, · − x) → δ_{x}(·) as ε ↓ 0

(ただし， p^{(r)}(s, y) = (\frac{1}{2πs})^{r/2}e^{−|y|^{2}/2s}, s > 0, y ∈ ℝ^{r}) に注意して， ∫_{0}^{t} δ_{x}(B_{s})ds の近似として ∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, B_{s} − x)ds を採り， ε ↓ 0 のときの (適当な意味での) 極限を局所時間 L_{t}^{x}(B) と捉えるということが考えられよう．

実際， Imkeller-Weisz ([1]) は，この極限を一般 Wiener 関数 D_{2}^{−α} (α > 0) の元として捉えられることを示した:

Fact. x ∈ ℝ^{r} \ \{0\}, t > 0 とする．このとき， α > \frac{r}{2} − 1 に対して

lim_{ε↓0}∥∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, w_{s} − x)ds − L_{t}^{x}∥_{2,−α} = 0,

即ち，

lim_{ε,ε′↓0}∥∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, w_{s} − x)ds − ∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε′, w_{s} − x)ds∥_{2,−α} = 0.

そして

lim_{ε↓0}∥∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, w_{s} − x)ds∥_{2,−(r/2−1)} = ∞.

この Fact の主張を簡単に

L_{t}^{x} ∈ ⋂_{α>r/2−1} D_{2}^{−α}, but ∉ D_{2}^{−(r/2−1)}

と書き表わすことにする．注意 1. 実は， Imkeller-Weisz は「L_{t}^{x} ∉ D_{2}^{−(r/2−1)}」を示していない．これは我々の結果である (cf. 定理 (ii), (iii)) ！

Imkeller-Weisz の証明の方法は，一言で云えば Itô-Wiener 展開である．彼らは，まず p^{(r)}(ε, w_{s} − x), よって ∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, w_{s} − x)ds を Itô-Wiener 展開し，その後，実際に ∥ ∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, w_{s} − x)ds − ∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε′, w_{s} − x)ds∥_{2,−α}^{2} を計算した．そして ε, ε′ ↓ 0 として lim_{ε,ε′↓0} = 0 を云ったのである．しかし，このやり方は D_{2}^{−α} にしか通用しない．我々は，一般の p ∈ [1, ∞) について関心がある．即ち， L_{t}^{x} はどの D_{p}^{−α} に属するのかどうかを完全に決定したいのである．

この問いについて分かったことが，次の定理である:

定理 ([3]). t > 0, x ∈ ℝ^{r} \ {0} とする．

(i) ^{∀}p ∈ [1, ∞) に対して

L_{t}^{x} ∈ ⋂_{α>(1− \frac{1}{p})(r−2)} D_{p}^{−α}.

(ii) p ∈ [2, ∞), r = 2 のときは

L_{t}^{x} ∈ D_{p}^{−α} ⟺_{必十} α > 0.

(iii) p ∈ ℕ ∩ [2, ∞), r ≥ 3 のときは

L_{t}^{x} ∈ D_{p}^{−α} ⟺_{必十} α > (1 − \frac{1}{p})(r − 2).

(iv) 一般に p ∈ (2, ∞), r ≥ 3 に対しては

L_{t}^{x} ∉ D_{p}^{−α}, ^{∀}α < (1 − \frac{1}{p})(r − 2).

注意 2. (i) 上の定理において， x ≠ 0 としている理由は， x = 0 のときは次のような意味で局所時間 L_{t}^{0} が存在しないことから来ている:

lim_{ε↓0}∥∫_{0}^{t} p^{(r)}(ε, w_{s})ds∥_{1,−α} = ∞, ^{∀}t > 0,^{∀}α > 0.

(ii) 実は，上で提起した問いに対して，我々は次を予想している:

「1 ≤ p < ∞, α > 0 に対して， L_{t}^{x} ∈ D_{p}^{−α} ⟺_{必十} α > (1 − \frac{1}{p})(r − 2).」

残念ながら，上の定理はこの予想を完全には解決していない．即ち， “ ⟹ ” 部分が，次のように不十分である:

• p ∈ [1, 2) のときは，完全に open である，

• p ∈ [2, ∞) \ ℕ, r ≥ 3 のときは，「α ≥_{\begin{matrix}↑ \\ ここ \end{matrix}}(1 − \frac{1}{p})(r − 2)」と等号が付いてしまう分

だけ主張が弱い．即ち， L_{t}^{x} が D_{p}^{−(1−1/p)(r−2)} に属するのか or 属さないのかが確定していない．

しかしながら，我々の方法では，この定理の主張がベストであろうと思われる．

参考文献

[1] P. Imkeller and F. Weisz, The asymptotic behaviour of local times and occupation integrals of the N-parameter Wiener process in ℝ^{d}, Probab. Theory Relat. Fields, 98 (1994), 47–75.

[2] H. Uemura, Plane wave decomposition of odd-dimensional Brownian local times, J. Math. Kyoto Univ., 39 (1999), 365–375.

[3] 植村英明・高信敏, Malliavin 解析における多次元 Brown 運動の局所時間について, 2.00 版, プレプリント (2003 年 9 月).

[4] S. Watanabe, Donsker’s δ-functions in the Malliavin calculus, in Stochastic analysis, Liber amicorum for Moshe Zakai (ed. by E. Mayer-Wolf, E. Merzbach and A. Shwartz), 495–502, Academic Press, New York, 1991.

[5] S. Watanabe, Fractional order Sobolev spaces on Wiener space, Probab. Theory Relat. Fields, 95 (1993), 175–198.

[6] S. Watanabe, Wiener functionals with the regularity of fractional order, in New trends in stochastic analysis, Proceedings of a Taniguchi International Workshop (ed. by K.D. Elworthy, S. Kusuoka and I. Shigekawa), 416–429, World Scientific, Singapore, 1997.