The integrated density of states of random Pauli Hamiltonians

上木直昌京大人環

(B_{ω}(x), ω ∈ Ω, x ∈ ℝ^{2}) を ℝ^{2} 上の確率場で x について連続かつ x の shift について定常, ergodic, かつある α > 0 があって E[exp(α|B^{ω}(0)|)] < ∞ となるものとし,

H_{±}^{ω} = ∑_{j=1}^{2}(\sqrt{−1}∂_{j} + A_{ω}^{j}(x))^{2} ± B_{ω}(x)

の形の L^{2}(ℝ^{2}) 上の自己共役作用素の族を考える. ここで ∂_{j} = ∂/(∂x^{j}), (A_{ω}^{j}(x))_{j=1}^{2} は vector potential, 即ち ∂_{1}A_{ω}^{2} −∂_{2}A_{ω}^{1} = B_{ω} となる確率場である. この作用素の直和 H_{+}^{ω}⊕H_{−}^{ω} は各 ω 毎に B_{ω}(x) を磁場とみなした Pauli Hamiltonian, 即ち Dirac 作用素の 2 乗となっており, 特に非負定値である. この作用素の族の状態密度関数を通常の様に

N_{±}(λ) = lim_{R→∞} \frac{1}{R^{2}} ♯\{e.v. of H_{±,□(R)}^{ω} ≤ λ\} a.e. ω, λ

で決まる deterministic な右連続関数として定義する. ここで □(R) = (−R/2, R/2)^{2}, H_{±,□(R)}^{ω} は H_{±}^{ω} の L^{2}(□(R)) への Dirichlet 境界条件による制限である. この関数について次のことが成り立つ：

定理. 任意の λ ≥ 0 に対して

N_{−}(λ) − N_{+}(λ) = \frac{E[B^{ω}(0)]}{2π}.

このことから次のことが分かる：

系. (i) 常に N_{±}(0) ≥ E[B_{ω}(0)]_{∓}/(2π). 特に E[B_{ω}(0)] > 0 ならば N_{−}(λ) は λ = 0 で jump し, 0 は H_{−}^{ω} の無限重の固有値である.

(ii) (cf.Avron-Herbst-Simon [4]) b := ess sup_{ω} inf_{x} B_{ω}(x) > 0 ならば 0 ≤ λ < 2b において N_{+}(λ) = 0 かつ

N_{−}(λ) = \frac{E[B_{ω}(0)]}{2π}.

(iii) (cf.Raikov [7]) B_{ω}(x) = B_{ω}^{0} + Δφ_{ω}(x), b := ess sup_{ω} B_{ω}^{0} exp(−2 osc φ_{ω}) > 0 ならば (ii) と同じ式が成り立つ.

先の定理は磁場がコンパクトな台をもつときの Aharonov-Casher [1] の定理を磁場が定常, ergodic な場合に形式的に変形したものと見做せ, 磁場が周期的な場合の Dubrovin-Novikov [6] の結果と磁場が準周期的な場合の Raikov [7] の結果の拡張と見做せる. 但しこの３つの研究は全て上の系の (ii) の様に N_{±}(0) の値を決めているのに対して先の定理では一般に N_{+}(λ) と N_{−}(λ) の差しか決めていない.

また Aharonov-Casher の論文 [1] でも述べられている様に先の定理は形式的に Atiyah-Singer 指数定理 [3] の１つと見做せる. 即ち Pauli Hamiltonian は超対称性の構造をもち, よって H_{+}^{ω} と H_{−}^{ω} のスペクトル構造は 0 以外では等しくなり (cf. [5]), 0 でのスペクトルの違いは曲率に相当する磁場の積分で表せることを先の定理は主張している.

証明も指数定理の熱方程式的証明 [2] と同様に出来る. 即ち超対称性を用いると先の定理の証明は Pauli Hamiltonian の熱核の supertrace の short time asymptotics に帰着する. 通常の指数定理との違いは状態密度関数を定義する際に用いた境界条件が上の議論に影響しないことを示すことだけである.

参考文献

1. Y. Aharonov and A. Casher, Phys. Rev. A 19 (1979), 2461–2462.

2. M. Atiyah, R. Bott and V. K. Patodi, Invent. Math. 19 (1973), 279–330, 28 (1975), 277–280.

3. M. F. Atiyah and I. M. Singer, Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963) 422–433.

4. J. Avron, I. Herbst and B. Simon, Duke Math. J. 45 (1978), 847–883.

5. H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch and B. Simon, Schrödinger operators, Springer, 1987

6. B. A. Dubrovin, and S. P. Novikov, Soviet Math. Dokl. 22 (1980), 240–244.

7. G. D. Raikov, mp arc 02-379.