Fractional Brown 運動に関する確率積分と Itô の公式について

植村英明（愛知教育大学）

\underline{1. fBm について [1, 2]}： B_{t}^{H} を Hurst parameter H ∈ (0, 1) の fractional Brown 運動 (fBm) とする。すなわち B_{t}^{H} は平均 0 の Gauss 過程で E[B_{t}^{H}B_{s}^{H}] = (|t|^{2H} + |s|^{2H} − |t − s|^{2H})/2 を満たすものである。 1 次元 Brown 運動 W_{t} に対して B_{t}^{H} は次の表現を持つ。

B_{t}^{H} = ∫_{0}^{t} K_{H}(t, s)dW_{s}.

ここで

K_{H}(t, s) = c_{H}(t − s)^{H−1/2} − (H − \frac{1}{2}) c_{H} ∫_{s}^{t}(r − s)^{H−3/2} (1 − (\frac{s}{r})^{1/2−H}) dr (s < t).

ただし c_{H} は定数である。 φ ∈ (K_{H}^{∗})^{−1}L^{2}[0, T] に対して，その B^{H} による確率積分は

∫_{0}^{t} φ(s)dB_{s}^{H} = ∫_{0}^{T} (K_{H}^{∗}φ1_{[0,t]})(s)dW_{s} (1)

をみたす。ここで

(K_{H}^{∗}φ)(s) = K_{H}(T, s)φ(s) + ∫_{s}^{T} (φ(r) − φ(s))\frac{∂K_{H}}{∂t} (r, s)dr

である。本講での我々の目的は， d 個の独立な fBm B^{H} = (B^{H_{1}}, …, B^{H_{d}}) を d 次元 Brown 運動 W = (W^{1}, …, W^{d}) の関数と考えて， (1) を通じて fBm の関数の fBm に関する確率積分を W の (超) 関数として構成し，併せて Itô の公式を示すことである。

\underline{2. Nualart-Zakai の Wiener 超関数 [3]}： I_{n}(f_{n}) を kernel f_{n} ∈ L^{2}([0, T]^{n}) の n 重 Wiener-Itô 積分とする。 p > 1, s ∈ ℝ に対して F = ∑ I_{n}(f_{n}) が空間 𝔻_{s}^{(p)} の元であるとは

∥F ∥_{(p),s}^{2} = ∑_{n=0}^{∞}(1 + n)^{s}T^{n(1−2/p)} ∑_{|n|=n} n!∥f_{n}∥_{p}^{2} < ∞ (2)

が成り立つことである。ここで ∥f_{n}∥_{p}^{p} = ∫_{0}^{T} ⋯ ∫_{0}^{T} |f_{n}|^{p}dt_{1} … dt_{n} とする。さらに G(s) = ∑ I_{n}(g_{n}(s)) ∈ 𝔻_{s}^{(p)} (0 < ∀s < T) が

∥G(·)∥_{(p),s,T}^{2} = ∑_{n=0}^{∞}(1 + n)^{s}T^{(n+1)(1−2/p)} ∑_{|n|=n} n!∥g_{n}(·)∥_{p}^{2} < ∞ (3)

を満たすとき， W^{i} に関する確率積分は 𝔻_{s−1}^{(p)} の元として

∫_{0}^{T} G(s)dW_{s}^{i} = ∑ I_{n+e_{i}}(S_{i}g_{n}(·))

と定義される。ここで e_{i} = (δ_{i,1}, …, δ_{i,d}), (δ_{i,j} : Kronecker’s delta) で S_{i} は第 i ブロックの変数に対する対称化を表す。また ∥g_{n}(·)∥_{p}^{p} = ∫_{0}^{T} ⋯ ∫_{0}^{T} |g_{n}(s)|^{p}dsdt_{1} … dt_{n} である。

\underline{3. fBm に関する確率積分， Itô の公式}： F (t, x) ∈ C([0, T]×ℝ^{d} → ℝ) を t, x に関して 1 回連続的微分可能な有界関数で sup_{t.x} |∂_{j}F (t, x)| < ∞ かつ，ある 0 ≤ β < 1 に対して sup_{x} |∂_{t}F (t, x)| < Const. × t^{−β} を満たすものとする。ここで ∂_{j} = ∂/∂x_{j}, ∂_{t} = ∂/∂t である。また Hurst parameters に対して（簡単のため） H_{1} ≤ ⋯ ≤ H_{d} の仮定を置く。

まず H_{i} ≥ 1/2 のときには容易に K_{H_{i}}^{∗}F (r, B_{r}^{H})(s) ∈ L^{2}(ds × dP) が示される。従ってこの場合には ∫_{0}^{t} F (s, B_{s}^{H})dB_{s}^{H_{i}} = ∫_{0}^{T} (K_{H_{i}}^{∗}F (r, B_{r}^{H})1_{[0,t]})(s)dW_{s}^{i} ∈ 𝔻_{2}^{−1}(= (I − L)^{1/2}L^{2}(dP)) である。

H_{i} < 1/2 のときには次の命題が成り立つ。

命題 1. H_{i} < 1/2 とする。 1 < p < 1/(1 − H_{i}), γ < −d/2 − 2 に対して K_{H_{i}}^{∗}F (r, B_{r}^{H})(s) ∈ 𝔻_{γ}^{(p)} である。

証明は K_{H_{i}}^{∗}F (r, B_{r}^{H})(s) の chaos 展開を考えて，これが (2) を満たすことを示せばよい。さらに (3) をチェックすることにより，次の定理が示される。

定理 1. H_{i} < 1/2 とする。 1 < p < min{1/(1 − H_{1}), 1/H_{d}, 1/β, 2}, γ < −d/2 − 2 に対して K_{H_{i}}^{∗}F (r, B_{r}^{H})(s) は 𝔻_{γ−1}^{(p)} において確率積分可能である：

∫_{0}^{t} F (s, B_{s}^{H})dB_{s}^{H_{i}} = ∫_{0}^{T} K_{H_{i}}^{∗}(F (r, B_{r}^{H})1_{[0,t]})(s)dW_{s}^{i} ∈ 𝔻_{γ−1}^{(p)}.

また，次の Itô の公式が成立する。（chaos 展開の kernel の比較によって得られる。）

定理 2. F (t, x) ∈ C^{1,2}([0, T]×ℝ^{d} → ℝ) を t に関して 1 回， x に関して 2 回連続的微分可能な有界関数で ∂_{j}F (t, x), ∂_{jk}^{2}F (t, x) は全て有界で，かつ，ある 0 ≤ β_{1} < 1 に対して sup_{x} |∂_{t}F (t, x)| < Const._{1} × t^{−β_{1}}, ある 0 ≤ β_{2} < 1 に対して sup_{x} |∂_{t}∂_{j}F (t, x)| < Const._{2} × t^{−β_{2}} を満たすものとする。このとき 1 < p < min{1/(1 − H_{1}), 1/H_{d}, 1/β_{2}, 2}, γ < −d/2 − 2 に対して，次式が 𝔻_{γ−1}^{(p)} で成立する。

F (t, B_{t}^{H}) = F (0, 0)+∫_{0}^{t} ∂_{t}F (s, B_{s}^{H})ds+∫_{0}^{t}⟨∇F (s, B_{s}^{H}), dB_{s}^{H}⟩+∫_{0}^{t} ∑_{i} ∂_{i}^{2}F (s, B_{s}^{H})H_{i}s^{2H_{i}−1}ds.

ここで ∇ = (∂_{1}, …, ∂_{d}).

注意 1. F (t, B_{t}^{H}), ∫_{0}^{t} ∂_{t}F (s, B_{s}^{H})ds さらに ∫_{0}^{t} ∑_{i} ∂_{i}^{2}F (s, B_{s}^{H})H_{i}s^{2H_{i}−1}ds は L^{2}(dP) の元より，結果的に ∫_{0}^{t}⟨∇F (s, B_{s}^{H}), dB_{s}^{H}⟩ も L^{2}(dP) の元である。

参考文献

[1] E. Alòs, O. Mazet and D. Nualart, Stochastic Calculus with respect to Gaussian Processes, Ann. Probab., 29-2 (2001), 766-801.

[2] D. Nualart, Stochastic Integration with respect to Fractional Brownian Motion and Applications, preprint.(http://orfeu.mat.ub.es/˜ nualart/prepub.htm にて利用可)

[3] D. Nualart and M. Zakai, Generalized Brownian Functionals and the Solution to a Stochastic Partial Differential Equation, J. Funct. Anal., 84 (1989), 279-296.