対称安定型過程の球からの脱出時間について

上村稔大 (神戸商科大学商経)

2003 年 10 月 1 日

ここでは，次のような二次形式を考える：

\{ \begin{matrix}E^{α}(u, v) & = ∫∫_{ℝ^{d}×ℝ^{d}} \frac{(u(x) − u(y))(v(x) − v(y))}{|x − y|^{d+α(x,y)}}dxdy, \\ D[E^{α}] & = \{u ∈ L^{2}(ℝ^{d}) : E^{α}(u, u) < ∞\}, \end{matrix}  (1)

ただし， α は ℝ^{d} × ℝ^{d} 上定義された可測関数である．特に， α が定数 β(0 < β < 2) のときは， (1) は指数 β の対称安定過程に対応する Dirichlet 形式となっている．

まず，正則性については，次の定理が成り立つことがわかる．

Theorem 1: D[E^{α}] ⊃ C_{0}^{lip}(ℝ^{d}) となる必要十条件は以下の (a)(b) が成り立つことである： ∀ K: compact, ∀G: rel. compact open, G ⊃ K,

(a) ∫∫_{K×K} |x − y|^{2−d−α(x,y)}dxdy < ∞

(b) ∫∫_{K×(R^{d}−G)} (|x − y|^{−d−α(x,y)} + |x − y|^{−d−α(y,x)}) dxdy < ∞.

(a)-(b) の下, (E^{α}, C_{0}^{lip}(ℝ^{d})) は L^{2}(ℝ^{d}) 上の closable Markovian form となる. 従って，その closure (E^{α}, F^{α}) に対応する対称な Hunt 過程 M^{α} = (X_{t}, ℙ_{x}) が存在する (see [FOT])．この確率過程を，「変数指数 α を持つ対称安定型過程」と呼ぶ．この講演では， α が特に，次のような条件を満たす場合の対称安定型過程の性質について考えていく：

(i) (一変数) α(x, y) が一変数のみに依存する場合，すなわち適当な ℝ^{d} 上の一様 Lipschitz 連続関数 α̃ が存在して， α(x, y) = α̃(x), x, y ∈ ℝ^{d} を満たし，さらに適当な正の数 α_{1}, α_{2} が取れて，

0 < α_{1} ≤ α̃(x) ≤ α_{2} < 1, x ∈ ℝ^{d}  (2)

を満たす．

(ii) (Lévy case) α(x, y) が x と y の距離だけに依存する場合，すなわち，適当な [0, ∞) 上の関数 σ と，正の数 α_{1}, α_{2} が存在して， α(x, y) = σ(|x − y|), x, y ∈ ℝ^{d} および

∫_{0}^{∞}(u^{2} ∧ 1)u^{−1−σ(u)}du < ∞, 0 < α_{1} ≤ σ(u) ≤ α_{2} < 2, u ∈ [0, 1]  (3)

を満たす．

まず， Sobolev の不等式が成りたつことを述べておく． Lemma 1 (2) または (3) を仮定する．このとき，適当な C > 0 が存在して，

||u||_{L^{q}} ≤ C E^{α}(u, u) u ∈ F^{α}

が成立する．但し， 1/q = 1/2 − α_{1}/(2d).

さらに Sobolev の不等式および Varopoulos の定理によから，以下の定理が成立することがわかる．

Theorem 2 ([Chen-Kumagai]) (2) (resp. (3)) を仮定する．このとき，適当な properly exceptional set N (resp. N = ∅) および， p(t, x, y) が存在して，

𝔼_{x}[f(X_{t})] = ∫_{ℝ^{d}} p(t, x, y)f(y)dy,
p(t + s, x, y) = ∫_{ℝ^{d}} p(s, x, z)p(t, z, y)dz s, t ≥ 0, x, y ∈ ℝ̃^{d} (resp. x, y ∈ ℝ^{d}),
p(t, x, y) ≤ c e^{t} t^{−d/α_{1}} t > 0, x, y ∈ ℝ̃^{d} (resp. x, y ∈ ℝ^{d}),

但し， ℝ̃^{d} = ℝ^{d}\N.

以上の準備の下，本講演の主定理を述べる．

Theorem 3 (2) (resp. (3)) を仮定する．このとき，適当な正数 C > 0, c > 0 が存在して， for x ∈ ℝ̃^{d} (resp. x ∈ ℝ^{d}), 0 < r ≤ 1 and t > 0,

c r^{α_{2}} ≤ 𝔼_{z}[τ_{B(x,r)}] ≤ C r^{α_{1}} for z ∈ B(x, r/2)\N (resp. z ∈ B(x, r/2)).

講演において，証明についてのアウトラインを述べたいと思う．

Remarks

• α(x, y) ≡ β(0 < β < 2) のとき，

𝔼_{x}[τ_{B(x,r)}] ≈ r^{β}

が成立することはよく知られており，さらにこれは，推移確率密度の scaling property により示される．

• Pruitt(’81) は，特性関数 (および Lévy 測度) の性質を用いて，一般の Lévy 過程について，同様の，球からの脱出時間の評価を得ている．

• Schilling(’98) は Pruitt の結果を， Lévy 型過程について対応するシンボルの条件で拡張することに成功している．

• 最近，色々な状況のもとに，飛躍型のマルコフ過程について， Harnack の不等式を導出する過程において，球からの脱出時間を評価する研究が盛んに行われている ([Bass-Levin],[Bass-Kassman],[Song-Vondracek],[Chen-Kumagai], [Bogdan-Stos-Sztonyk],...). しかし，我々の設定において，現時点では Harnack の不等式を得るところまでは成功していない．今後の課題である．