角 大輝（すみ ひろき）

Updated on: April 5, 2023

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専門: 数学 複素力学系, ランダム複素力学系、フラクタル幾何学、複素解析学、 エルゴード理論

複素力学系とは：　多項式（有理関数でもよい）fを一つ用意します。 　複素数初期値zを一つとります。zをfで写します。それをさらにfで 写します。これを繰り返します。するとどこにいくのか・・・という 素朴な問いに対する研究です。一般に、空間Xを固定して、 そのXをXに写す写像fを一つ用意して、初期値zをXからとって、 fで繰り返し写していく、という漸化式の話は、「（離散時間）力学系」 と呼ばれていて、数学、物理、化学、生物などの自然科学や、工学、経済学、心理学などの非常に多くの分野で 数理モデルとして現れます。そのうち、最も基本的でかつ重要と思われるのは、 上のXが実直線で、fが多項式関数のときです。この場合は、初期値を複素数まで 拡げると解析がしやすく、理論を豊かにするのです。それが複素力学系です。 また、複素係数多項式の根を探すための方法として、「ニュートン法」というものがありますが、 ニュートン法では有理関数で表される漸化式を考えることになります。これも複素力学系を深く研究する動機付けと なっています（ニュートン法を複素力学系を用いて研究する話は、依然として最先端の研究対象です）。

2次以上の多項式で表される複素力学系の話は、形の上では、 高校生で習う漸化式の少し 複雑なものです。しかし、fを2次多項式にしただけでも第n項を 初期値とnで具体的な式で表すことはすでに無理です。また、初期値zによって 後の様子は全く異なります。さらに、zによっては カオス（混沌）と呼ばれる複雑さを持ちます。 そこで、複素解析、 リーマン面（複素平面の一部分を切り貼りして 作った図形）、リーマン面の複素構造（つまり張り合わせ方） の変形理論などを組み合わせ、駆使して様子を探っていきます。 また、混沌を生み出す複素数z（具体的には少しずらすと後が大きく 異なるz)を複素平面上で集めたものをジュリア集合と呼びますが、 これが細部をいくら拡大しても全体と似る、という 不思議な性質を持ちます。この性質を自己相似性と呼びます。 「自己相似性」を持つ図形は各所にあります。 雲、樹木、結晶、カリフラワー、・・・など、自然界によく見かけます。実際、 多項式fを選ぶと、そのジュリア集合が樹木や結晶にそっくりになります。 このような細部を拡大すると全体と似るような複雑図形は「フラクタル図形」 と呼ばれています。フラクタルとは「砕けた」を意味する造語です。

このフラクタル図形を数学的に扱うことも出来ます(その分野をフラクタル幾何学といいます）。 たとえば、フラクタル図形に対しては、1次元のものさしである「長さ」ではかると 無限大、2次元のものさしである「面積」ではかると０という場合があり、 そこで、t次元ものさし（tは１と２の間の実数）を用意します。 図形Xのt次元ものさしでの量は、Xを小片に分けて、その小片の直径のt乗を足し合わせた量の、小片の大きさを 小さくしていったときの極限として定義されます。 一般に、Xのt次元ものさしでの量H^{t}(X)は、tを0から大きくしていくと、ある値sまではずっと無限大で、 sを超えると今度はずっと0になります。その値sをXのハウスドルフ次元とよびますが、その次元は、 一般に1.5や1.6など非整数となって、大変興味深いものとなります。上記の多項式力学系のジュリア集合の ハウスドルフ次元も、 そのように、１と２の間で非整数となる場合が非常に多いことが知られています。

複素力学系の話は、高次元の複素数上の図形（複素多様体） 上でも発展中です。

私自身は、１次元複素平面（あるいはリーマン球面） 上の有理関数で生成された半群の力学系、 ランダムな複素力学系、反復関数系ならびにフラクタル幾何学を研究しています。 これらのことについて、以下の(1)(2)(3)で詳しく述べます。

(1) 有理関数の族Aが与えられたとします。Aの有限個の元の合成で表される有理関数の全体は、 写像の合成を積とする半群になります。ここでは、そのような半群をAで生成された有理関数半群と呼びましょう。 有理関数半群の力学系においては、そのジュリア集合は半群の各元で前方不変ではありません。 しかし、半群が有限生成のとき（つまり上でAが有限集合のとき）、「後方自己相似性」を 持ちます。きちんというと、ジュリア集合は、Aの各元で引き戻したものの合併と等しくなります。 有理関数の半群の力学系は、 フラクタル幾何学の「自己相似集合」の研究、と 「ランダムな複素力学系」などに関係しています。 ここでランダムな複素力学系とは、分かりやすくいうと、 たとえばm個の有理関数f_{1},,,f_{m}があり、有理関数f_{j}を確率p_{j}で選択して、 点を動かす、ということを繰り返す、というシステムです。 もっと分かりやすい例では、２つの有理関数f,gがあり、初期値zをとったあと、 さいころを振って、偶数の目が出たらzをfで動かし、奇数の目が出たらzをgで動かす。 結果に対して、またさいころを振って偶数、奇数の目に応じてf,gを選択して点を動かす、これを 繰り返す、というものです。さきの離散時間力学系の説明のところで、 一般に、いつも同じ写像fが繰り返されるだけというのでは、モデルとして有効でなく、 いくつかの写像が与えられて、それらを確率に応じて選択する、というモデルの方が現実に 合っている場合もあるかと思いますので、そのときには、この「ランダムな力学系」 が良いことになります。実際、自然界では多くのものがランダムにゆらいでいますので、 ランダムな力学系の方が現実にあっているのではないかと思われることもあります。

さて、ランダムな複素力学系を調べるのに、逆に半群の力学系を調べることが有効であることも分かります。 有理関数半群の力学系やランダムな複素力学系は、ともに誕生したのが１９９０年頃という、若い研究対象です。 私は有理関数半群の研究では、 半群のジュリア集合のハウスドルフ次元や、 半群のファトウ集合( 少しずらしても後に影響が少ない、穏やかな初期値の集合）上での力学系、などを 研究しています（論文１，２，５，６、８，９，１０，１２，１８，１９，２０，２１，２４，２５，２６，２７，２８、２９，３０，３１）。 ランダムな多項式複素力学系においては、たいがいの場合に, たとえ各写像がカオス的部分を持っていたとしても 複数の写像がまるで互いに互いの欠点を補い合うかのように「勝手に協調・協力して」カオスを 消滅させてしまうこと（協調原理といいます）を発見しました（論文２２，２８)。 また、ランダムな複素力学系において、たとえカオスが消滅しても、その極限状態において、 ある条件下では、ある場所に収束する確率の関数が「複素平面上で連続で、なおかつ 細いフラクタル集合の上のみで変化する」という、いわば 「特異関数の複素平面上版」 （悪魔の階段の複素平面上版）とでもいうべきものになることを発見しました(論文２２，２８）。 その悪魔の階段の複素平面上版は、「悪魔のコロシアム」と呼ばれています（図２参照）。 見やすいように、図２を上下にひっくり返したもの（図３）も入れます。これは、 原点に収束する確率の関数のグラフになります。図３の関数は「フラクタルウエディングケーキ」と呼ばれます。 また、ある場所に収束する確率の関数を、確率パラメータで偏微分したものを初期値の関数と思うと、 「高木関数の複素平面上版」が得られることを発見しました（図４）（論文２８）。

ここで複素平面上で定義されたそれらの関数のグラフの図をご覧になられる前に、 もとになっている「悪魔の階段」、「ルベーグの特異関数」、「高木関数」を説明いたします。 これらは実直線上でのランダム力学系において自然に現れるオブジェクトたちです。 まず、実直線上で、f_{1}(x)=3x, f_{2}(x)=3x-2とおき、毎回、それらを確率1/2ずつで選択して点を動かしていくような 実直線上のランダム力学系を考えます。初期値xをとったあと、n回後の点の位置をX_{n}とおきますと、 X_{n}はnを大きくしていくにつれて+∞に飛んで行ったり-∞にとんでいったりします。そのうち、 +∞ に飛んでいく確率をA(x)とおきましょう。すると、A(x)のグラフは、図１のようになり、それは 実直線上で連続で、カントールの三進集合という細かいフラクタル集合の上だけで変化し、そして単調性を持ちます。 関数A(x)を閉区間[0,1]に制限したものは、古典的に「悪魔の階段」と呼ばれている関数と同じです。 上記で、今度はf_{1}(x)=2x, f_{2}(x)=2x-1とし、毎回、確率p (ただしpは0より大きく1未満)でf_{1}を選択し、確率1-pでf_{2}を選択して点を動かしていくような、 実直線上のランダム力学系を考えます。そして、同じように、初期値xをとったときに、n回後の点の位置がnを大きくするにつれて +∞ に飛んでいくような確率をB_{p}(x)とおきます。B_{p}(x)のグラフは図２のようになり、それは実直線上で連続で、ほとんどすべての点xに関して 関数fのグラフは点(x,f(x))で水平な接線を持ち、なおかつ関数fは狭義単調増加関数です。関数B_{p}を[0,1]に制限したものは、 古典的に「パラメータpに関するルベーグの特異関数」と呼ばれているものと一致します (ただしpは1/2でない）。 さらに、xをとめると、B_{p}(x)はpに関して何回でも微分可能であることが知られていて、B_{p}(x)をpについてp=1/2において偏微分したものの1/2倍を C(x)とおくと、それは[0,1]上で、数学者高木貞治が1900年代に発見していた「高木関数」と一致することが分かります。関数C(x)は、 [0,1]上で連続なのに、[0,1]上のどの点においても微分不可能であるという面白い特徴を持ちます。そのグラフが図３です。 以上が「悪魔の階段」「ルベーグの特異関数」「高木関数」の説明です。なお、これらの関数は古典的なものなのですが、上記のように ランダム力学系の視点から解釈可能であるということを私が発見しました（論文２２、１５）。

図１：「悪魔の階段」[0,1]上で連続で、カントールの三進集合という細かいフラクタル集合の上のみで変化し、 単調性を持つ。 図２：「ルベーグの特異関数」[0,1]上で連続で、ほとんどすべての点において微分が可能で微分は0, かつ狭義単調性を持つ。 図３：「高木関数」[0,1]上で連続で、かつ[0,1]上のどの点でも微分が不可能。

そこでもとのランダム複素力学系の話にもどりますと、上記の「悪魔の階段」「ルベーグの特異関数」「高木関数」 のストーリーの複素平面上版が語られる、というのです。つまり、今度は、複素平面上において、 f_{1}(z), f_{2}(z)をある２つの複素多項式関数として、複素数初期値zをとったあと、確率pでf_{1}を選択し、確率1-pでf_{2}を選択して点を動かす、この作業を 繰り返して、n回後の位置をX_{n}とするとき、X_{n}の絶対値がnを大きくするにつれて無限に発散していく確率をD(z)とおくとき、そのグラフが図５のようになります。 複素平面上で定義された関数D(z)は、複素平面上で連続で、 図４（図４はf_{1},f_{2}の有限回の合成全体からなる多項式半群のジュリア集合の図）という細いフラクタル集合の上だけで変化します。 なおかつ、ある種の単調性を持ちます。関数D(z)は、悪魔の階段やルベーグの特異関数の複素平面上版で、「悪魔のコロシアム」と呼ばれます。 （グラフの形状がコロシアム状です。） D(z)を確率パラメータpで偏微分してｚの関数とみたものをE(z)とおきます。複素平面上の関数E(z)は上記のストーリーの観点から高木関数の複素平面上版となります。 複素平面上で定義された関数E(z)は複素平面上で連続で、図４の細いフラクタル集合の上のみで変化します。

図４：ある２元生成多項式半群のジュリア集合 図５：「悪魔のコロシアム」 複素平面上で連続で、図４の 細いフラクタル集合の上のみで変化する。悪魔の階段の複素平面上版。 図６：「フラクタルウエディングケーキ」 図５を上下にひっくり返したもの。 図７：「高木関数の複素平面上版」複素平面上で連続で、図４の 細いフラクタル集合の上のみで変化する。

(2) 反復関数系（複数の縮小的写像によって作られる半群の極限集合などの研究）については、 等角的無限反復関数系（無限個の、角度を保つ縮小写像の族で生成された半群）の解析的族の研究などを 行っています。そのような族をいくつかのものに分類しました（論文１７，１４）。

(3) 一般の有限生成半群の力学系について、 不変集合Xがその（第n世代）ミニチュアたちで被覆される様子を絵にしてそのコホモロジー群を 計算し、極限をとる、ということで、有限生成半群の力学系についての新しいコホモロジー群理論 （相互作用コホモロジーと呼んでいます）を 創始しました（論文１８）。このコホモロジー群から定数係数チェックコホモロジー群への自然な射があります。 相互作用コホモロジー群を見ることによって、Xの連結成分の個数や、補集合の連結成分の個数、 補集合のホモロジー群が分かる場合があります。また、相互作用コホモロジー群自体は、それが 不変集合Xのチェックコホモロジー群と同型でない場合も、Xのミニチュアたちの被覆の具合という 最も自然な対象物をみる重要な位相不変量であり、有限生成半群の力学系を分類する手立てになります。 このコホモロジー群は、さきの有理関数半群の力学系やランダムな複素力学系を調べるときにも 役立ちます。

これらの(1)(2)(3)のことなどについて、 修士一年のときからずっと研究を続けています。

研究室配属の学生の方を募集中です。解析系、幾何系の分野（どちらか一方で十分です。） に興味を持っている方を歓迎いたします。4回生で入るときは、 複素解析、測度論、多様体論（または位相幾何）のどれか一つに興味を持っていれば楽に 勉強できます。複素力学系、カオス理論、フラクタル幾何学に登り口はいろいろあるのです。

本研究室で勉強したい方は、微分積分学、線形代数学、集合と位相、をまず しっかりと勉強しておいてください。４回生や大学院生になっても、 大学の数学の入り口に入っていない（つまりは高校生と全く同じレベルの）学生の方をよく見かけます。 それでは４回生、大学院で行う輪読のセミナーが全く行えません。 大学の数学は、 まずは実数を有理数全体から厳密に構成することを 理解することから始まります。そのために、 まず「集合と位相」内田伏一著　裳華房、の集合論の最初の部分である p1-36を読み、特に同値類の概念を学び、その後同じ本の付録の「有理数から実数へ」を きちんと行間を埋めながら読んで、そのあと「解析入門I」杉浦光夫著、東大出版会、を 行間を埋めながら読むことをすすめます。ほか、微分積分学のしっかりとした教科書としては、 「解析概論」高木貞治著、岩波書店、や 「解析入門I,II」小平邦彦著、岩波書店、「数学解析上、下」溝畑茂著、朝倉書店、 などが知られており、これらのしっかりとした微分積分学の教科書を行間を埋めながら読むことが （とくに修士課程に進学する方は）どうしても必要になります。（上記の「杉浦」「高木」「小平」「溝畑」 のうちの１つの著作、特に「杉浦」をしっかり読むことを強くお薦めします。） また、上記の内田伏一著の「集合と位相」の内容を 全て読んでおくことも必須です。なお、教科書を読む時には、 ルーズリーフノートに丸写しして、教科書の行間が空いているところ（説明や証明が必要なところ）は自分で説明や証明を詳しくルーズリーフノートに書いてあとで自分が読んでわかるようにしておく、というのが 結局一番効率がいいと思います。

プレプリント

1. K.Inui and H. Sumi, Packing measure and dimension of the limit sets of IFSs of generalized complex continued fractions, preprint. pdf file.
2. M. Comerford, K. Falk, R. Stankewitz, H. Sumi, Hereditarily Non Uniformly Perfect Analytic and Conformal Non-autonomous Attractor Sets, preprint, 14 pages, pdf file.
3. H. Sumi: Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups, preprint 2007, http://arxiv.org/abs/math/0703591. November 26, 2007 version. Lemma 4.31 and Lemma 4.37 are updated. なおこの論文は長さのために３分割することになりましたので、 このままの形で出版されることはありません。 ps-file, pdf file.

出版済論文 (1997 -)

1. H. Sumi: On dynamics of hyperbolic rational semigroups, J. Math. Kyoto. Univ. Vol. 37, No. 4, (1997), 717-733. pdf-file.
2. H. Sumi: On Hausdorff dimension of Julia sets of hyperbolic rational semigroups, Kodai. Math. J., Vol.21,No.1,(1998),10-28. pdf-file.
3. H. Kriete and H. Sumi: Semihyperbolic transcendental semigroups, J. Math. Kyoto. Univ., Vol. 40, No.2,(2000),205-216. pdf-file.
4. H. Kriete and H. Sumi: Correction to ``Semihyperbolic transcendental semigroups'', J. Math. Kyoto. Univ., Vol. 45, No. 2, (2005), 427.
5. H. Sumi: Skew product maps related to finitely generated rational semigroups, Nonlinearity, 13 (2000), 995-1019.
6. H. Sumi: Dynamics of sub-hyperbolic and semi-hyperbolic rational semigroups and skew products, Ergodic Theory Dynam. Systems (2001), 21, 563-603
7. H. Sumi: A correction to the proof of a lemma in `Dynamics of sub-hyperbolic and semi-hyperbolic rational semigroups and skew products', Ergodic Theory Dynam. Systems (2001), 21, 1275-1276.
8. R. Stankewitz, T. Sugawa and H. Sumi: Some counterexamples in dynamics of rational semigroups, Annales Academia Scientiarum Fennica Mathematica, Vol. 29, 2004, 357-366. ps-file, dvi-file, pdf-file.
9. H. Sumi: Dimensions of Julia sets of expanding rational semigroups, Kodai mathematical Journal Vol.28, 2005, No.2, pp. 390-422. ps-file, dvi-file, pdf-file
10. H. Sumi: Semi-hyperbolic fibered rational maps and rational semigroups, Ergodic Theory Dynam. Systems (2006), 26, 893-922. (Revised on June 10, 2006. A typo in Theorem 2.6 is fixed.) ps-file, dvi-file, pdf-file.
11. H. Sumi: Erratum to `Semi-hyperbolic fibered rational maps and rational semigroups' (Ergodic Theory and Dynamical Systems 26 (2006) 893-922), Ergodic Theory Dynam. Systems (2008), 28, 1043-1045. ps-file, pdf-file, dvi-file.
12. R. Stankewitz and H. Sumi, Structure of Julia sets of polynomial semigroups with bounded finite postcritical set, Appl. Math. Comput. 187 (2007), no. 1, 479--488. (Proceedings paper of a conference.)
13. H. Sumi, Random dynamics of polynomials and devil's-staircase-like functions in the complex plane, Appl. Math. Comput. 187 (2007), no. 1, 489--500. (Proceedings paper of a conference.)
14. M. Roy, H. Sumi and M. Urbanski, Analytic families of holomorphic iterated function systems, Nonlinearity 21 (2008) 2255-2279. ps-file, pdf-file, dvi-file.
15. 角大輝, 「有理半群, ランダムな複素力学系と複素平面上の特異関数」, 雑誌「数学」第61卷第2号2009年4月春季号論説p133-161. [誤植訂正: (I) 上記数学論説p138,4行目のコンピュータプログラムの載っているアドレスの cs.を除いてください。(II)定義50(5)の最初に「$\tilde{J}(f)\neq \emptyset $かつ」を入れてください。 ]　このホームページの以下のファイルではこれらの誤植を訂正しています。　 ps-file, pdf-file.
16. H. Sumi and M. Urbanski, The equilibrium states for semigroups of rational maps, Monatsh. Math., 156 (2009), no. 4, 371--390. ps-file, pdf-file, dvi-file.
17. M. Roy, H. Sumi and M. Urbanski, Lambda-tolology VS. pointwise topology, Ergodic Theory Dynam. Systems 29 (2009), no. 2, 685-713. ps-file, pdf-file, dvi-file.
18. H. Sumi, Interaction cohomology of forward or backward self-similar systems, 47 pages, 9 figures. Adv. Math., 222 (2009), no. 3, 729--781. ps-file, pdf-file.
19. H. Sumi and M. Urbanski, Real analyticity of Hausdorff dimension for expanding rational semigroups, published in Ergodic Theory Dynam. Systems (2010), Vol. 30, No. 2, 601-633. ps-file, pdf-file.
20. H. Sumi, Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups III: classification of semi-hyperbolic semigroups and random Julia sets which are Jordan curves but not quasicircles, published in Ergodic Theory Dynam. Systems (2010), 30, No. 6, 1869--1902. 29 pages, 1 figure. pdf-file, ps-file.
21. H. Sumi, Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups I: connected components of the Julia sets, published in Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A, Vol. 29, No. 3, 2011, 1205--1244. 39 pages, 2 figures. pdf-file, ps-file.
22. H. Sumi, Random complex dynamics and semigroups of holomorphic maps, published in Proc. London. Math. Soc. (2011), 102 (1), 50--112. 56 pages, 5 figures. Revised on May 15, 2010. pdf-file, ps-file.
23. H. Sumi, Rational semigroups, random complex dynamics and singular functions on the complex plane, Selected Papers on Analysis and Differential Equations, Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 230, 2010, 161--200.
24. H. Sumi and M. Urbanski, Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. A., Vol 30, No. 1, 2011, 313--363. 50 pages, 2 figures. pdf-file, ps-file.
25. R. Stankewitz and H. Sumi, Dynamical properties and structure of Julia sets of postcritically bounded polynomial semigroups, Trans. Amer. Math. Soc., 363 (2011), no. 10, 5293--5319. ps-file, pdf-file.
26. H. Sumi and M. Urbanski, Bowen Parameter and Hausdorff Dimension for Expanding Rational Semigroups, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. A, 32 (2012), no. 7, 2591--2606. pdf-file, ps-file.
27. H. Sumi and M. Urbanski, Transversality family of expanding rational semigroups, Advances in Mathematics 234 (2013) 697--734. pdf file, ps file.
28. H. Sumi, Cooperation principle, stability and bifurcation in random complex dynamics, 40 pages, 6 figures. Advances in Mathematics 245 (2013) 137--181. pdf file, ps file.
29. H. Sumi, Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups II: fiberwise dynamics and the Julia sets, 24 pages, 1 figure. J. London Math. Soc. (2) 88 (2013) 294--318. pdf file, ps file.
30. R. Stankewitz and H. Sumi, Random Backward Iteration Algorithm for Julia sets of Rational Semigroups, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. A, 35 (2015), no. 5, 2165--2175. pdf file.
31. H. Sumi, Random complex dynamics and devil's coliseums, Nonlinearity 28 (2015) 1135-1161. pdf file.
32. J. Jaerisch and H. Sumi, Multifractal formalism for expanding rational semigroups and random complex dynamical systems, Nonlinearity 28 (2015) 2913-2938. pdf file.
33. H. Sumi, The space of 2-generator postcritically bounded polynomial semigroups and random complex dynamics, Adv. Math. 290 (2016) 809--859. pdf file.
34. R. Stankewitz and H Sumi, Backward Iteration Algorithms for Julia sets of Mobius Semigroups, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. A, 36 (2016), 6475 - 6485. pdf file.
35. J. Jaerisch and H. Sumi, Pointwise Hoelder exponents of the complex analogues of the Takagi function in random complex dynamics, Adv. Math. 313 (2017) 839--874. pdf file.
36. J. Jaerisch and H. Sumi, Dynamics of infinitely generated nicely expanding rational semigroups and the inducing method, Trans. Amer. Math. Soc. 369 (2017), no. 9, 6147-–6187. pdf file.
37. R. Stankewitz, T. Sugawa and H. Sumi, Hereditarily Non Uniformly Perfect Sets, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. S, 12, no. 8, (2019), 2391-2402. 15 pages, pdf file.
38. H. Sumi and T. Watanabe, Non-i.i.d. random holomorphic dynamical systems and the probability of tending to infinity, Nonlinearity, 32 (2019), 3742--3771. pdf file.
39. M.Comerford, R. Stankewitz, H. Sumi, Hereditarily non Uniformly Perfect non-Autonomous Julia Sets, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. A, 40 (2020), no. 1, 33–-46. pdf file.
40. K. Inui, H. Okada and H. Sumi, The Hausdorff dimension function of the family of conformal iterated function systems of generalized complex continued fractions, Discrete and Continuous Dynamical Systems Ser. A, 40 (2020), no. 2, 753-–766. pdf file.
41. K. Inui and H. Sumi, Hausdorff measures and packing measures of limit sets of CIFSs of generalized complex continued fractions, Journal of Difference Equations and Applications, 26 (2020), no. 1, pp. 104--121. pdf file.
42. J. Jaerisch and H. Sumi, Spectral gap property for random dynamics on the real line and multifractal analysis of generalized Takagi functions, 30 pages, Comm. Math. Phys. 377, 1--36. (2020). pdf file.
43. J. Jaerisch and H. Sumi, Multifractal formalism for generalised local dimension spectra of Gibbs measures on the real line, J. Math.Anal.Appl.491(2020)124246. pdf file.
44. H. Sumi, Negativity of Lyapunov Exponents and Convergence of Generic Random Polynomial Dynamical Systems and Random Relaxed Newton's Methods, Comm. Math. Phys. 384, 1513--1583 (2021). pdf file.
45. M. Comerford, K, Falk, R. Stankewitz, H. Sumi, Uniformly perfect and hereditarily non uniformly perfect analytic and conformal non-autonomous attractor sets, Dyn. Syst. 36 (2021), no. 4, 631--655. pdf file.
46. H. Sumi and T. Watanabe, Non-i.i.d. random holomorphic dynamical systems and the generic dichotomy, Nonlinearity 35 (2022) 1857--1875. pdf file.

研究業績（論文、口頭発表）リスト

1. 研究業績（論文、口頭発表）リスト pdf-file.

一般向け著書

1. 「どうして高校生が数学を学ばなければならないの？」大竹真一編、大阪大学出版会、2017年. 大阪大学出版会ウェブページ　 Amazonウェブページ
2. 「この定理が美しい」数学書房編集部編、数学書房、2009年. 数学書房ウェブページ Amazonウェブページ

一般の方向けの研究紹介資料、講義資料、研究集会でのプレゼン資料など

1. 河合塾みらいぶプラス（著書「どうして高校生が数学を学ばなければならないの？」の紹介） webpage
2. 河合塾みらいぶプラス（一般向け研究紹介） webpage
3. 河合塾みらいぶプラス（一般向けの研究室の紹介とインタビュー） webpage
4. 河合塾みらいぶプラス（日本全国の力学系理論（カオス理論）、ランダム（複素）力学系理論、フラクタルの研究者と研究室の紹介） webpage
5. 2012年大阪大学大学院理学研究科数学専攻案内の「数学へのいざない」 (研究紹介）。研究の内容を一般の方向けに書いています。（高校生向け。） pdf-file.
6. 複素力学系およびランダムな複素力学系の入門（京大大学院情報２０１１年集中講義） pdf-file.
7. フラクタル図形とフラクタル次元（２０１２年度大阪大学生命理学コース向け講義資料） pdf-file.
8. カオスとフラクタルの体験（京都大学総合人間学部数理情報論入門資料。一般向け。) pdf-file.
9. カオス音楽：２次多項式の独奏 wav-file
10. カオス音楽：２次多項式の合奏（同期パラメータ低) wav-file
11. カオス音楽：２次多項式の合奏（同期パラメータ高) wav-file
12. カオス音楽：２次多項式の合奏（同期パラメータ中) wav-file
13. Random complex dynamics and singular functions on the complex plane, at the conference ``Dynamical Systems II'' at University of North Texas, May 18 2009, and at the conference ``Advances in Low Dimensional Dynamics'' at Stony Brook University, June 8 2009. pdf-file.

経歴

1. 1994 京都大学理学部（主として数学）卒業
2. 1999 京都大学大学院人間・環境学研究科博士後期課程修了学位取得
3. 1999--2005 東京工業大学理工学研究科数学専攻助手
4. 2005--2007 大阪大学大学院理学研究科数学専攻助教授
5. 2007--2017 大阪大学大学院理学研究科数学専攻准教授
6. 2017-- 京都大学大学院人間・環境学研究科共生人間学専攻数理科学講座教授　

受賞歴

1. 2000 日本数学会賞建部賢弘奨励賞 受賞 [建部賞ホームページ]
2. 2012 大阪大学総長奨励賞(研究部門) 受賞
3. 2019年度日本数学会解析学賞 受賞 [日本数学会 2019年度日本数学会解析学賞] [ 2019年度日本数学会解析学賞受賞記念特別講演(再生がうまくいかない場合は、画面右上のログイン(google)をクリックして入ってください、2020年度日本数学会秋季総合分科会 函数論分科会特別講演,2020年9月22日)]

リンク

1. [ 京都大学大学院入試説明会]
2. [ RIMS共同研究（公開型）オンライン研究集会「ランダム力学系および多価写像力学系理論の総合的研究」 (2021年8月30日--9月3日、オンライン(Zoom)での開催、参加登録は上記URLよりお願いします)]
3. [ 2019年度日本数学会解析学賞受賞記念特別講演(2020年度日本数学会秋季総合分科会 函数論分科会特別講演,2020年9月22日)]
4. [ RIMS共同研究（公開型）研究集会「ランダム力学系理論とフラクタル幾何学の研究」 (2019年8月29日--9月2日、京都大学理学部３号館(数学教室)110講義室)]
5. [ RIMS共同研究（公開型）研究集会「ランダム力学系の総合的研究」 (2017年9月25日--27日、京都大学数理解析研究所)]
6. [ Perspectives of Nonlinear Phenomena in Random and Non-autonomous Dynamics (2017年9月28日--29日、京都大学理学部３号館（数学教室）１２７講義室)]
7. [ 小研究集会``Dynamics, Ergodic Theory and Fractals'' (2016年5月21日、22日、大阪大学理学部)]
8. [ 2013年度ランダム力学系研究集会(2014.2/19-2/21、於京大数理解析研究所)ホームページ日本語]
9. [ 阪大力学系・フラクタルセミナーホームページ]
10. [ 2011年度複素力学系研究集会(2012.1/23-1/27)ホームページ日本語]
11. [ 2010年度複素力学系研究集会(宇敷重廣先生還暦記念集会)(2010.12/6-12/10)ホームページ日本語]
12. [ 2009年度複素力学系研究集会(2009.12/14-12/18)ホームページ日本語]
13. [ 2009年度複素力学系研究集会(2009.12/14-12/18)ホームページ英語]
14. [ Rich Stankewitz （有理半群の力学系の研究者）ホームページ]
15. [ Rich Stankewitzとその学生による有理半群のジュリア集合とアトラクタのグラフィクスを描く プログラムのホームページ]
16. [ 島根大学大学総合理工学部数学教室常勤講師のJohannes Jaerisch氏ホームページ]
17. [ 篠田万穂さん (京都大学大学院人間・環境学研究科、日本学術振興会特別研究員(PD)) ]

お知らせ: 遠山啓著：「算数の探検」（初出：ほるぷ出版）が日本図書センターより復刊されました。

私はこの本に小学生のときに出会って数学が好きになり、 数学者になりたいという夢を抱くようになりました。 数の概念から始まって、 連立一次方程式が解けるようになるまでの内容を小学生向けに解説している絵本風の 本なのですが、とても楽しく、考えることの面白さを教えてくれます。 小学校3年生くらいから、6年生向けですが、算数と数学の世界にもう一度入ってみたい方なら どの年齢の方でも、楽しく読めると思います。 興味のある方、是非ご覧になってみてください。 詳細については下記をご覧下さい。そのウェブページから購入も出来ます。
[ 日本図書センターの「算数の探検」のページへ]

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